Relasi, dalam matematika, adalah hubungan antara dua elemen himpunan. Hubungan ini bersifat abstrak, dan tidak perlu memiliki arti apapun baik secara konkrit maupun secara matematis. Jika terdapat himpunan A dan himpunan B (A bisa sama dengan B), maka relasi R dari A ke B adalah subhimpunan dari A×B. 
dalam matematika adalah hubungan antara dua elemen himpunan. Hubungan ini bersifat abstrak, dan tidak perlu memiliki arti apapun baik secara konkrit maupun secara matematis.
Hubungan/relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu pemasangan anggota-anggota A dengan anggota-anggota B.
Jika terdapat himpunan A dan himpunan B (A bisa sama dengan B), maka relasi R dari A ke B adalah subhimpunan dari A×B.
Contoh:
A = himpunan mahasiswa, R relasi pada A:
(a, b) Î R jika a satu angkatan dengan b.
R refleksif: setiap mahasiswa seangkatan dengan dirinya sendiri
R setangkup: jika a seangkatan dengan b, maka b pasti seangkatan dengan a.
R menghantar: jika a seangkatan dengan b dan b seangkatan dengan c, maka pastilah a seangkatan dengan c.
Dengan demikian, R adalah relasi kesetaraan
Relasi dalam himpunan
Cara langsung untuk menyatakan relasi antar elemen dalam suatu himpunan adalah dengan memasangkan dua elemen himpunan secara berurutan. Dalam hal ini disebut relasi biner (binary relationship). Dalam bab yang lebih lanjut kita akan menggunakan relasi untuk memecahkan masalah yang melibatkan komunikasi jaringan, penjadwalan proyek dan pengidentifikasian elemen dengan properti yang sama dalam suatu himpunan.
Bila A dan B adalah himpunan, suatu relasi biner dari A ke B adalah himpunan bagian dari A×B
Dengan kata lain, relasi biner dari A ke B adalah himpunan R dari pasangan berurutan dimana elemen pertama berasal dari A dan elemen kedua berasal dari B. Kita akan menggunakan notasi a R b yang menyatakan (a,b) є R dan a R b menyatakan (a,b) ∉ R. Lebih jauh, jika (a,b) termasuk dalam R maka dapat dikatakan bahwa a direlasikan ke b karena R.
Contoh :
Bila A = {0,1,2} dan B = {a,b} maka {(0,a), (0,b) , (1,a), (2,b)} merupakan relasi dari A ke B. Kemudian 0 R a adalah benar dan 1 R b. Relasi juga dapat direpresentasikan dalam gambar maupun tabel seperti gambar di bawah ini:
R
|
a
|
b
|
0
|
X
|
X
|
1
|
x
| |
2
|
x
|
Relasi dapat digunakan untuk mengekspresikan satu ke banyak hubungan antar elemen dalam suatu himpunan A dan B, dimana sebuah elemen A dapat dihubungkan ke lebih dari 1 elemen B. Suatu fungsi merepresentasikan sebuah hubungan dimana hanya 1 elemen B yang dihubungkan ke tiap elemen A.
A. SEBUAH RELASI R TERDIRI DARI:
- Himpunan A
- Himpunan B
- Sebuah kalimat terbuka P(x,y) yang menyatakan hubungan antara himpunan A dengan himpunan B.
Dimana x bersesuaian dengan a Î A dengan y bersesuaian dengan b Î B.
>Bila P(a,b) betul maka a berelasi dengan b. Ditulis a R b
>Bila tidak demikian maka a R b
B. SEBUAH RELASI DAPAT DINYATAKAN DENGAN:
- Himpunan Pasangan Berurutan (a,b)
- Kalimat terbuka P(x,y)
- Diagram cartesius ( diagram A x B )
- Diagram panah
>bila R adalah sebuah relasi, maka himpunan dari relasi ini adalah:
R = {(a,b) ½ a Î A; b Î B; P(a,b) adalah betul}
Ket: Jika A=B, maka P(x,y) mendefinisikan sebuah relasi di dalam A.
contoh :
R = (A,B, P(x,y))
A = {2,3,4}
B = {3,4,5,6}
P(x,y) menyatakan x pembagi y
Relasi dan fungsi proposisi
Sebuah relasi dapat dikaitkan dengan sebuah fungsi proposisi atau kalimat terbuka yang himpunan penyelesaiannya tidak lain adalah relasi tersebut.
Sebagai contoh, pandang himpunan B = { apel, jeruk, mangga, pisang } dengan himpunan W = { hijau, kuning, orange}. Suatu relasi R dari A ke B didefinisikan sebagai R = {(apel, hijau), (jeruk, orange), (mangga, hijau), (pisang, kuning)}. Terdapat fungsi proposisi w(x, y) = "x berwarna y", yang himpunan penyelesaiannya adalah {(apel, hijau), (jeruk, orange), (mangga, hijau), (pisang, kuning)},yang tidak lain adalah relasi R.
Sifat-sifat relasi :
1.Refleksif
Relasi R pada himpunan A disebut refleksif jika
(a,a) ε R untuk setiap a ε A
2.Simetris
Relasi R pada himpunan A disebut
simetris jika (a,b) ε R maka (b,a) ε R
Contoh Relasi
Relasi n – ary
Misalkan A1, A2, A3, …. ,An adalah himpunan.
Relasi n-ary R pada himpunan tersebut adalah himpunan bagian dari
A1 x A2 x …… x A n,
Contoh :
NIM = {55410366,55410355,55410377}
Nama = {tyo, joko,reza}
Mata Kuliah = {PTKI, AP, MAIF , MADAS}
Nilai = {A , B , C , D , E }
Relasi n – ary
Misalkan A1, A2, A3, …. ,An adalah himpunan.
Relasi n-ary R pada himpunan tersebut adalah himpunan bagian dari
A1 x A2 x …… x A n,
Contoh :
NIM = {55410366,55410355,55410377}
Nama = {tyo, joko,reza}
Mata Kuliah = {PTKI, AP, MAIF , MADAS}
Nilai = {A , B , C , D , E }
Relasi A×A
Sebuah relasi A×A, yaitu relasi dari himpunan A kepada A sendiri, dapat memiliki sifat-sifat berikut:
- Refleksif
- Irefleksif
- Simetrik
- Anti-simetrik
- Transitif
Kita menyebut relasi R dari A kepada A sebagai relasi R dalam A.
Relasi Refleksif
Sebuah relasi R dalam A disebut memiliki sifat refleksif, jika setiap elemen A berhubungan dengan dengan dirinya sendiri.
Atau
Contoh relasi yang memiliki sifat seperti ini adalah relasi “x selalu bersama y.”, dengan x dan y adalah anggota himpunan seluruh manusia. Jelas sekali bahwa setiap orang pasti selalu bersama dengan dirinya sendiri.
Relasi Irefleksif
Relasi R dalam A disebut memiliki sifat irefleksif, jika setiap elemen A tidak berhubungan dengan dirinya sendiri.
atau
Contoh relasi irefleksif adalah relasi “x mampu mencukur rambut y dengan rapi sempurna.”, dengan x dan y adalah setiap pemotong rambut. Diandaikan bahwa setiap orang hanya dapat mencukur rambut orang lain dengan rapi sempurna, maka relasi ini adalah irefleksif, karena tidak ada seorang tukang cukur a yang mampu mencukur rambutnya sendiri.
Contoh lain dalam himpunan bilangan bulat adalah, relasi dan adalah irefleksif.
Relasi Simetrik
Relasi R dalam A disebut memiliki sifat simetrik, jika setiap pasangan anggota A berhubungan satu sama lain. Dengan kata lain, jika a terhubung dengan b, maka b juga terhubung dengan a. Jadi terdapat hubungan timbal balik.
atau
Sebuah relasi “x + y genap” adalah relasi simetrik, karena untuk sembarang x dan y yang kita pilih, jika memenuhi relasi tersebut, maka dengan menukarkan nilai y dan x, relasi tersebut tetap dipenuhi. Misalnya untuk pasangan (5, 3) relasi tersebut dipenuhi, dan untuk (3, 5) juga.
Relasi Anti-simetrik
Jika setiap a dan b yang terhubung hanya terhubung salah satunya saja (dengan asumsi a dan b berlainan), maka relasi macam ini disebut relasi anti-simetrik.
atau
Dalam kebanyakan literatur biasanya ditulis sebagai kontraposisinya seperti di bawah ini. Keuntungan bentuk ini adalah tidak mengandung negasi, dan hanya mengandung satu implikasi.
atau
Relasi 
bersifat anti-simetrik, karena 
mengakibatkan 
. Demikian juga jika ada p dan q yang terhadap mereka berlaku 
dan 
berarti p = q.
bersifat anti-simetrik, karena mengakibatkan . Demikian juga jika ada p dan q yang terhadap mereka berlaku dan berarti p = q.
Relasi Transitif
Sebuah relasi disebut transitif jika memiliki sifat, jika a berhubungan dengan b, dan b berhubungan dengan c, maka a berhubungan dengan c secara langsung.
atau
Sebagai contoh, relasi dua transitif. Misalnya untuk 5, 6, dan 7, berlaku 5 < 6, 6 < 7, dan 5 < 7.
Relasi khusus
Relasi Ekivalen
Sebuah relasi disebut sebagai relasi ekivalen jika relasi tersebut bersifat:
- Refleksif
- Simetrik, dan
- Transitif
Relasi ekuivalen memiliki hubungan erat dengan partisi, yang merupakan alasan mengapa partisi dari sebuah himpunan disebut kelas ekivalen atau kelas kesetaraan.
Orde Parsial.
RELASI INVERS
Setiap Relasi dari A ke B, mempunyai relasi R-1 dari B ke A yang didefinisikan sebagai
R-1 = {(b,a) ½ (a,b) Î R}
contoh:
A = {1,2,3}; B = {a,b}
R = {(1,a), (1,b), (3,a)} relasi dari A ke B
R-1 = {(a,1), (b,1), (a,3)} relasi invers dari B ke A
Domain (daerah asal) dari suatu relasi R adalah himpunan elemen pertama dari pasangan berurutan elemen R. Domain = { a ½ a Î A, (a,b) Î R }
Range (daerah hasil) dari suatu relasi R adalah himpunan elemen kedua dari pasangan berurutan elemen R. Range = {b ½ b Î B, (a,b) Î R}
contoh:
A = {1,2,3,4} ; B = {a,b,c}
R = {(2,a) ; (4,a) ; (4,c)}
Domain = {2,4}
Range = {a,c}
Suatu pemetaan / fungsi dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu relasi khusus sedemikian rupa sehingga, setiap anggota A dipasangkan dengan tepat satu anggota B. ditulis f : A ® B
- Himpunan A disebut DOMAIN fungsi, dan himpunan B disebut CODOMAIN fungsi.
- Bila a Î A, maka b Î B yang menyatakan pasangan dari A, disebut image (peta) dari A.
ditulis f(a) = b - Kumpulan dari image-image a Î A di B, membentuk range fungsi.
range = f(A)
· Contoh program (relasi)
package relasi;
import java.io.*;
public class Main {
public static void main(String[] args) throws Exception {
int i, j;
int [] k = new int [10];
int [] l = new int [10];
BufferedReader input = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));
System.out.print("Banyak Anggota himpunan a maksimal 10 : ");
int a = Integer.parseInt(input.readLine());
System.out.println("\n");
for (i = 1; i <= a; i++)
{
System.out.print("Elemen himpunan a ke-" + i + " : ");
int x = Integer.parseInt(input.readLine());
k [i] = x;
}
System.out.print("a = {");
for (i = 1; i <= a; i++)
{
System.out.print(k [i]);
if(i != a)
{
System.out.print(", ");
}
}
System.out.print("}");
System.out.println("\n\n");
System.out.print("Banyak Anggota himpunan b maksimal 10 : ");
int b = Integer.parseInt(input.readLine());
System.out.println("\n");
for (j = 1; j <= b; j++)
{
System.out.print("Elemen himpunan b ke-" + j + " : ");
int y = Integer.parseInt(input.readLine());
l [j] = y;
}
System.out.print("b = {");
for (j = 1; j <= b; j++)
{
System.out.print(l [j]);
if(j != b)
{
System.out.print(", ");
}
}
System.out.print("}");
System.out.println("\n\n");
System.out.println("Relasi yang mungkin :");
System.out.print("{");
for (i = 1; i <= a; i++)
{
for (j = 1; j<= b; j++)
{
System.out.print("(" + k[i] + ", " + l[j] + ")");
}
}
System.out.println("}");
System.out.println("\n\n");
System.out.println("Sifat simetris dari relasi a dan b :");
System.out.print("{");
for (i = 1; i <= a; i++)
{
for (j = 1; j<= b; j++)
{
{
System.out.print("(" + k[i] + ", " + l[j] + ")");
System.out.print("(" + l[j] + ", " + k[i] + ")");
}
}
}
System.out.println("}\n\nSifat refleksif dari relasi a : " + "\n");
for (i = 1; i <= a; i++)
{
System.out.print("(" + k[i] + ", " + k[i] + ")");
}
System.out.println("}\n\nSifat refleksif dari relasi b : " + "\n");
for (j = 1; j<= b; j++)
{
System.out.print("(" + l[j] + ", " + l[j] + ")");
}
System.out.println("}");
}
}
Referen:
